2019. június 17., hétfő , Laura, Alida

1055 Bp., Szalay u. 10–14.

Tel.: (+36-1) 235-7200

Fax: (+36-1) 235-7202

magyar english
Elfelejtett jelszó

Arany János Programok  IKT  OFI  OKJ  SDT  Vizsgacentrum  biztonságos iskola  egészségtudatos iskola  erőszakmentes  kiadvány  konferencia  kétszintű érettségi  letölthető  oktatás  próbaérettségi  pályázat  rendezvény  ÚPSZ  Új Pedagógiai Szemle  érettségi 

Intézeti folyóiratok

Köznevelés
Új Pedagógiai Szemle
Educatio
Könyv és nevelés
Kattintson ide a rendeléshez!
Tudástár >> Konferenciák, rendezvények eredményei >> Az Országos Közoktatási Intézet konferenciája, 2005 - Új vizsga – új tudás? >> Vitafórumok és szakmai műhelyek >> 1. szakmai műhely: a PISA-program tudásfelfogása

A matematikai tudáskoncepció a 2003-as PISA vizsgálatban

2009. június 17.

Csíkos Csaba

A matematikai tudáskoncepció a 2003-as PISA-vizsgálatban

Rövid áttekintésünkben a 2003-as PISA-vizsgálatban központi helyen szereplő matematika területével foglalkozunk. Míg a legelső, 2000-ben szervezett PISA- mérés az olvasáskultúra értékelését helyezte a középpontba, addig a 2003-as vizsgálat a matematikának adott főszerepet. Előadásom három pillére a következő: 1) Mit mért a PISA 2003 a matematika területén? 2) A mérési-értékelési folyamat jellemzői hogyan tükrözik a PISA matematika-felfogását? 3) Két példafeladaton keresztül a matematikai tudáskoncepcióban főszerepet kapó életszerűség megjelenését szemléltetem.

Vizsgáljuk meg először, hogyan definiálta a 2003-as PISA-vizsgálat a matematika területén mérendő tudást. Az angol nyelvű elnevezésben mathematical literacy definiálásról van szó. Bár a lényeg természetesen az, hogy milyen tartalmi elemei vannak a fogalomnak, meggyőződésem, hogy érdemes kitérni a magyar elnevezésekkel, lehetséges fordításokkal kapcsolatos kérdésekre. A literacy szó szerint írástudást jelent, ami már az olvasás szóhoz illesztve is kissé különös szóösszetétellé válna, a matematika esetén pedig egyenes érthetetlen lenne: matematikai írástudás. Érdemes tudni, hogy a PISA anyagainak fejlesztése párhuzamosan folyt angol és francia nyelven, így talán a francia elnevezés közelebb vihet bennünket egy megfelelő magyar fordításhoz: culture mathématique. Ez a kifejezés matematikai kultúraként fordítható, Csapó Benő is ezt a fordítást javasolta bevezető előadásában. Hogy még biztosabbak legyünk abban, hogy az elnevezés és a fordítás kérdése csak másodlagos ahhoz képest, hogy milyen tartalmi elemei vannak a tudáskoncepciónak, nézzük meg az olasz fordítást: competenza matematica. Elég kézenfekvő lenne ezt matematikai kompetenciaként fordítani. Van még egy lehetséges elnevezés, ami ugyan kissé körülményesebb a matematikai kultúra frappáns rövidségéhez képest: matematikai kulturális eszköztudás. A kilencvenes évek Monitor vizsgálataiban már polgárjogot nyert ez a kifejezés is.

A matematikai kultúra a PISA 2003 definíciója szerint a következőt jelenti:

  • Az egyén legyen képes arra, hogy felismerje és megértse a matematika szerepét a világban.
  • Az egyén használja matematikai tudását az életben felmerülő szükségleteknek megfelelően.
  • A matematikai kultúrának több szintje van, attól függően, hogy a matematikai tudás felhasználása során a tanuló milyen szintű elemzésre, következtetéses gondolkodásra és kommunikációra képes.

A matematikai kultúra fenti háromrészes definíciója a mérni kívánt terület olyan leírását tartalmazza, amely egyrészt kiemeli a matematikai tudáskoncepció alapelemeit, másrészt pedig lehetővé teszi, hogy további részletes kifejtés révén a felmérések számára operacionalizálhatóvá váljék a matematikai tudáskoncepció. A definíció alapvető, koncepcionális elemei közül kiemelkedően fontosnak tartjuk az életben felmerülő szükségletek említését. Elég kevés empirikus adatunk van arra vonatkozóan, hogy az ifjak vagy felnőttek milyen hétköznapi helyzetekben vélik úgy, hogy matematikai tudásukat használják. Egy kérdőíves vizsgálat kisiskolások között például a bevásárlás kérdéskörén túl nemigen hozott felszínre olyan helyzeteket, amelyekben a tanulók úgy érezték, a matematikai tudásukat kellett használni. Külső szakértői szemmel nézve a kérdést, bizonyosak vagyunk abban, hogy a matematikai tudás számtalan élethelyzetben felhasználható. Újabb kérdést vet föl azonban, hogy az iskolai tanórák nyújtotta keretek hogyan járulhatnak hozzá a hétköznapi életben használható matematikai tudás fejlesztéséhez. A 20. század utolsó harmadában élénken kutatott területté vált világszerte az úgynevezett realisztikus matematika. A mozgalom egyik fő kutatási iránya, hogy milyen matematikai problémák tekinthetőek életszerűnek, és ezek hogyan illeszthetőek be az iskolai matematikaórák menetébe. A mai napig nincs egyszerű és egyértelmű válasz arra a kérdésre, hogy milyen matematikai probléma tekinthető életszerűnek, avagy idegen csengésű szóval: realisztikusnak.

Brian Greer gondolatmenetét követjük az életszerűség értelmezésében. Szerinte az életszerűség definíciója meglehetősen komplex, még az egyszerű szöveges feladatok esetében is. Szerinte érdemes rögzítenünk, hogy a matematikai szöveges feladatok világának értelmezése megegyezéses szabályokon nyugszik. A megegyezéses szabályok szerint a szöveges feladatokban bizonyos feladatjellemzők kiemelten fontosak (például a szövegben szereplő számadatok), míg más jellemzők elhanyagolhatóak. Freudenthal példáját hozza – mintegy elrettentésül – annak igazolására, hogy nehéz pontosan definiálni, mit jelent az életszerűség.

„A hentes 10 kg húst rendelt a meglévő 26 kg hús mellé. Hány kiló hús van nála most?”

Egy elmés válasz tartalmazhat olyan elemeket, hogy „Mire odaér a megrendelt 10 kg, csak elfogy valamennyi a 26 kg-ból…”

Egy feladatot életszerűnek tarthatunk, ha benne a hétköznapi életből ismert tárgyak, jelenségek és viszonyok fordulnak elő, viszont a feladatmegoldás folyamatában az említett megegyezéses szabályok kijelölik, hogy mennyire lehet életszerű a feladatban szereplő dolgok modellezése. Jelenleg is élő kutatási terület tehát annak a vizsgálata, hogy egy matematikai probléma megoldása során a valóság megfelelő modellezése hogyan kap szerepet. Kezd kialakulni egy olyan álláspont, amely szerint az életszerűséghez nem elegendő az, ha hétköznapi tárgyak, relációk és mennyiségek fordulnak elő, hanem a feladat megoldásának folyamatában kell lennie olyan lépésnek, amelyben a valóság matematikai modellezését várjuk el.

A valóság matematikai modellezése minden bizonnyal igényli azokat a feladatmegoldó lépéseket, amelyeket Pólya több mint fél évszázada lefektetett, és amelyben a tervkészítés, a terv végrehajtásának nyomon követése és a megoldás ellenőrzése nem rutinszerűen kipipálható lépések, hanem releváns, a megoldáshoz szükséges, tudatos tevékenységek.

A matematikai kultúra PISA-definíciója alapján a matematikai megismerő (kognitív) tevékenységeknek három csoportját avagy három szintjét különítik el:

  • Reprodukciós készségek. Ide tartozik az ismerős matematikai eljárások és problématípusok felismerése, a rutinműveletek elvégzése.
  • Összekapcsoló készségek. Ezek a készségek a reprodukciós készségek által nyújtott lehetőségek meghaladását biztosítják, viszonylag ismerős kontextusban.
  • Reflektív készségek. A probléma megoldásához, a matematikai elemek azonosításához kreativitásra, reflexióra és insightra (belátással történő problémamegoldásra) lehet szükség.

További fontos dolog, amit a tesztek összeállítása előtt definiálni szükséges, hogy a matematika tudományának tartalmi felosztás szerinti területei közül melyek jelennek meg a vizsgálatban. A PISA 2003 négy tartalmi területet határozott meg:

  • Tér és forma. Ide tartoznak a „geometriai elvek” és a tárgyak tulajdonságai.
  • Változás és relációk. Ebbe a témakörbe sorolták a változók közötti kapcsolatokat, ezek ábrázolását, valamint egyenlettel történő felírásának megértését.
  • Mennyiség. A számokkal kapcsolatos fogalmak, a kapcsolatok és mintázatok kvantifikálása tartozik ide.
  • Bizonytalanság. Ez a valószínűségi és statisztikai elvek területe.

Látjuk tehát, hogy a kognitív tevékenységek három szintje és a négy tartalmi terület önmagában 12-féle feladattípust hív életre. A helyzetet tovább színezi, hogy a többi PISA-ban vizsgált területhez hasonlóan, itt is hat képességszintet igyekeznek elkülöníteni. Mivel a valószínűségi tesztelméleti módszerek alkalmazása egyúttal azt is jelenti, hogy hatféle feladatnehézségi szintet definiálnak, máris 72-féle feladathoz jutottunk, és ebben az esetben mindegyik típusból csak egy lenne a feladatbattériában. Végül a PISA 2003 nyolcvanöt matematikai feladatot szerepeltetett.

Folytatódott a feladatszerkesztésben az az immár 10 éves, még az IEA- vizsgálatokban kialakult hagyomány, hogy a zárt, feleletválasztó feladatok mellett nyílt végű kérdések is szerepeltek, amelyek pontozása háromfokozatú volt, és egy nemzetközileg egységes kódrendszer pontos követése szükséges ahhoz, hogy a 0-1-2 pontok mindenütt ugyanolyan értékű válaszokat jelöljenek. Érdemes megemlítenünk, hogy a feladat külsődleges megjelenése nincs közvetlen kapcsolatban (itt sem) a mérni kívánt kognitív tevékenységi szinttel. Ezzel egy – talán már nem is létező – téves meggyőződést igyekszem cáfolni, mely szerint a zárt végű kérdések elsősorban a reprodukciós szint mérésére hivatottak, míg a nyílt végű kérdések lennének alkalmasak a magasabb szintű kognitív tevékenységek mérésére.

A tanulói teljesítmény – a valószínűségi tesztelmélet alapelvének megfelelően – kölcsönösen megfeleltethető a feladatnehézségeknek, vagyis egy tanuló matematikai tudásszintjének az a feladatnehézség-pontszám felel meg, amely feladatot a tanuló 50%-os valószínűséggel képes megoldani. Az 500-as érték jelzi a részt vevő országok tanulóinak átlagos teljesítményét, és egyúttal a feladatok átlagos nehézségét, a szórás pedig 100. Ebből következően például a 600-as érték úgy értelmezhető, hogy a tanulóknak mintegy 32%-a képes 50%-nál nagyobb valószínűséggel a feladat megoldására.

Két példafeladatot mutatunk be végül, amelyek az eddig lefektetett, elméleti jellegű bemutatás illusztrálására szolgálnak. Néhány mintafeladat szabadon letölthető a www.oecd.org portálon keresztül, a PISA-mérések publikációira kattintva. A feladatokat elsősorban azzal a szemmel nézzük, hogy vajon teljesítik-e a PISA-mérések alapvető küldetését, amely szerint a 15 éves tanulók életre való felkészültségét mérik. Az első példában, az úgynevezett lépcsősor- feladatban az életszerűség szempontjából kedvező jeleket tapasztalhatunk. A rajzon adva van a lépcsősor hossza és magassága, a kérdés pedig az egyes lépcsők magasságára vonatkozik. A feladat rövid szövege így szól: „Az ábra egy lépcsősort mutat, amely 14 lépcsőből áll, és a teljes magassága 252 cm.” Az életszerűség kérdéskörét vizsgálva kiemelendő, hogy – ha a szövegben nem is – az ábrán van megadva fölösleges adat is úgy, ahogyan az általában az életben felmerülő matematikai jellegű problémáknál várható. Kissé elégedetlenek lehetünk a feladattal abból a szempontból, hogy az általános iskola derekán, a kétjegyű számokkal való osztást drillező feladatsorba ugyanúgy beilleszthető lett volna a feladat szövege. A PISA kategóriái szerint a feladat a reprodukciós matematikai kognitív tevékenységeket mérő csoportba tartozik, tartalma szerint pedig a Tér és forma klaszterbe. A nehézségi mutató 421, vagyis a tanulók többsége 50%-nál nagyobb valószínűséggel képes megoldani, tehát az átlagnál jóval könnyebb.

This short response question is situated in a daily life context. The student has to interpret and solve the problem whivh uses two different representation modes: language, including, numbers, and graphical. This question also has redundant information (i.e., the depth is 400 cm) which can be confusing for students, but this is not unusal in real-world problem solving. The actual procedure needed is a simple division. As this is a basic operation with numbers (252 divided by 14) the question belongs to the reproduction competency cluster. All the required information is presented in a recignisable situation and the students can extract the relevant information from this. The question has a difficulty of 421 score points (Level 2).

Másik példafeladatunkat francia nyelven mutatjuk meg. Említettük, hogy a feladatok nyelvi kalibrálásának érdekében angol és francia nyelven párhuzamosan folyt a feladatfejlesztés. A feladatot lábnyom-feladatnak nevezhetjük. Nézzük először az életszerűség szempontját! Nekem tetszik ez a feladat ebből a szempontból, ugyanis egy fénykép, és az azon szereplő jelölés hiteles kiindulópontot jelent a feladat szövegéhez. Önmagában nézve a feladat szövegét, az olyan lenne, mint a cilinderből előkapott nyúl, meglehetősen absztrakt és életidegen lenne a fölvetés. Azt nem tudhatjuk, hogy a 15 éves tanulókat mennyiben segítette az ábra a feladat megértésében, mindenesetre az átlagosnál nehezebbnek bizonyult a feladat. Az ábrán p jelöli a lépés hosszát.

A feladat matematikai tartalma úgy egyszerűsíthető, hogy adott az n/p hányados, és adott n esetén határozzuk meg p értékét. Felvetődik a kérdés, hogy életszerű-e, hiteles-e ez a feladat a 15 vagy akárhány éves korosztály számára. A válasz nem önmagában egyetlen feladatban keresendő. Úgy vélem, feltétlenül támogatandó, hogy az iskolai matematikai feladatok életszerű problémahelyzetekből induljanak ki, abban az értelemben, hogy a feladatban szereplő számok mechanikus kikeresésén és a műveletvégzésen túl szükség legyen a hétköznapok világának modellezésére. Ezt az elvet követve esetenként matematikai szempontból egyszerű, könnyűnek tűnő feladatok válnak nehézzé, de ugyanakkor a mechanikus, drillízű gyakorlásokon túlmutatóan a tanulói gondolkodás magasabb szintű, reflektív – ha több időm lenne gondolataim kifejtésére, úgy mondanám: metakognitív – komponenseinek fejlesztését segíthetjük elő.

Az ábrák lelőhelye: 34002454.pdf a www.oecd.org oldalról a lépcsősor, és pisa_exemple_reponses_fr.pdf fájlból a lábnyomok.

A honlapon található tanulmányok, egyéb szellemi termékek, illetve szerzői művek (a továbbiakban: művek) jogtulajdonosa az Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet. A jogtulajdonos egyértelmű forrásmegjelölés mellett felhasználást enged a művekkel kapcsolatban oktatási, tudományos, kulturális célból. A jogtulajdonos a művekkel kapcsolatos anyagi haszonszerzést azonban kifejezetten megtiltja.